变换

2D 变换

缩放

• X’=SX
• Y\=SY

X轴翻转

• X’=-X
• Y’=Y

切变

旋转

R_-θ=R_θ^T

齐次坐标

为了解决平移产生必须要用加法的问题，加入齐次坐标。

• 矩阵没有交换律：同时需要平移和线性变换的时候，需要先线性变换再平移
• 仿射变换=线性变换+平移

3D 变换

齐次坐标

3D点：(x,y,z,1)^T

3D向量：(x,y,z,0)^T

旋转向量与欧拉角

R_XYZ(α，β，γ)=R_X(α)R_y(β)R_z(γ)

利用右手螺旋定则

在三维坐标系中：

XxY=Z XxZ=-Y YxZ=X

因此R_Y（α）中为X或Y的转置

同时，去掉分别代表XYZ运算的行列即可变换为最基本的旋转式

罗德里格旋转公式

这是一种可以表示任意旋转后的向量

四元数解决了两个旋转角度中差值的问题，本课中不具体讲解

视图变换

什么是视图变换？

视图想想如何拍一张照片：

• 找一个好的地方并安排好拍照的人（模型变换）
• 找一个好角度并放好相机（视图变化）
• 茄子！（投影变换）

定义相机

1. position（相机在哪）e

2. look-at/gaze direction（朝哪个方向）g

3. up direction（向上方向:控制歪斜）t

   

   同时，相机默认的向上方向为+Y。永远朝着-Z方向看，永远在原点上。

把任意点相机移到默认点

• 先平移

• 再旋转（利用逆矩阵的性质，先算从原点到任意点再转置过来）

  

(g x t = e)

投影变换

正交投影：更像工程制图，没有近大远小的性质
透视投影：近大远小，更类似于现实中的形态

正交投影

一种简单的理解方式

• 把z轴去掉
• 相机位于原点，看向-Z轴，向上为Y轴
• 将生成的矩形平移并缩放为[-1，1]²

标准方式

总的来说，要将任意的立方体变成标准（canonical）立方体

先做平移，再做缩放

透视投影

如何做透视投影？

• 将视锥体压扁成立方体
• 做正交变换

“压扁”操作

其中：

n为近平面

f为远平面

利用相似三角形求出y轴的位置

同理可以得到x’=(n/z)x

Z轴如何处理？

当我们完成X、Y轴处理后，发现Z轴仍不知道，同时乘z后得到右下的矩阵

同时可以通过矩阵叉乘得到未知矩阵的一部分：

(?,?,?,?))->(0,0,?,?)

再通过下图的方法得出原本”still unknown”的数值为n²

以此得到：

An+B=n²

同时z轴在远平面上的数值并不会改变，因此得到：

Af+B=f²

通过解上面两个方程得到：

A=n+f

B=-nf

因此Z轴一行的矩阵为：

(0,0,n+f,-nf)

参考资料

GAMES101-现代计算机图形学入门-闫令琪

完整笔记

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